Aが不倫をばらしたため,職場で私(B)は辛い立場にあります。
刑事や金銭的賠償以外のペナルティはないのでしょうか。

1 職場の不倫騒動については懲戒処分の対象となることがある
2 懲戒処分はバランスを欠くと無効となる
3 現実は雇用主の裁量により多様な判断があり得る

1 職場の不倫騒動については懲戒処分の対象となることがある

不倫のことを職場で言いふらしたために,職場の雰囲気が険悪になった,という場合は,状況によっては懲戒処分の対象となる場合があります。
実際の職場での業務への影響,就業規則等によるルール内容によって,懲戒処分の適用の有無や内容(具体的ペナルティ)は変わってきます。

2 懲戒処分はバランスを欠くと無効となる

純粋にけしからんというだけでは懲戒処分はできません。
会社の業務への影響,支障が生じたかどうか,が重要です。

少なくとも,一定程度の具体的な影響,が生じていることが必要でしょう。
また,懲戒処分の内容とのバランスも必要とされます。

次のような場合,効力が認められないことになります。
具体的には,処分または,これを規定する就業規則等が無効となるでしょう。

<効力が否定される懲戒処分の例>

ア 影響がわずかであるにも関わらず,懲戒処分を行った場合
イ 影響がある程度大きいが,過剰な懲戒処分を行った場合

3 現実は雇用主の裁量により多様な判断があり得る

具体的な会社の運用として,どのように対処するかは違うでしょう。
また,会社側(人事部等)としても,当事者の反省の様子から,敢えて注意だけで済ませた方が良い,という判断(裁量)もありえます。
なお,『不倫をした者(B)』についても同様です。